Dinâmica do MHS – Sistema massa-mola

 

- Sistema massa-mola -  Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre uma trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio O, sob ação de uma força denominada força restauradora  (Fel) que sempre é dirigida para O. Essa força é a força elástica fornecida pela expressão Fel = - kx (lei de Hooke)

 À medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posição de equilíbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a força restauradora vai aumentando  até atingir um valor máximo no ponto x=+A (abscissa máxima, a partir da qual, retornará)). Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da posição 0, uma  força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0, e esta força terá módulo máximo no ponto de abscissa x=-A, a partir de onde, retornará.

A distância do ponto O até os extremos x= +A e x= -A é chamada de amplitude A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e –A, ocorre inversão de sentido do movimento e a velocidade se anula. Observe também que na passagem pela posição de equilíbrio (ponto O), a velocidade é máxima em módulo.

O período T desse MHS é fornecido pela expressão

T – período – tempo que a massa m demora para efetuar um “vai e vem” completo

m – massa que executa o MHS

k – constante elástica da mola

 

- Da lei de Hooke – F= -kx e da segunda lei de Newton – F=m.a, obtemos  ---  -k.x=m.a  ---  a= -k/m.x.

Igualando  a= -k/m.x.  com a= -w2.x, obtemos  ---  - k/m.x= -w2.x  ---  w=Ök/m. Lembrando que w=2p/T e igualando essa expressão com a anterior  ---  Ök/m = 2p/T, isolando T, obtemos a expressão acima  --  T=2m/k.

Observe na expressão acima que o período T da massa oscilante não depende da amplitude e nem da aceleração da gravidade

local, independente do fato da oscilação ser na vertical.

 

Energia no MHS no plano horizontal

* A energia potencial é a elástica  ---  Ep = k.x2/2

Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x=o e é máxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 é máximo e vale Ep=kA2/2

 

* A energia cinética vale Ec=m.v2/2

Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde v=0.

 

* A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2  ou  Em=Ec + Ep  ou 

Em=kx2/2 + m.v2/2

* Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que  --- Em=Ec + Ep  --- Em= 0 + k.A2/2  ---  Em=k.A2/2 = constante

* No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x=0, temos que  ---  Em=Ec + Ep  ---  Em=mv2/2 + 0  ---  Em=mv2max/2=const.

* Gráficos

 

 * Se a massa estiver oscilando na vertical

 

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.

Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos  ---  Fe = P  ---  k.x = m.g  ---  x=m.g/k e x=A. Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma..                                      

Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A,  em torno de 0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

 

O que você deve saber

* Na expressão T=2m/k você observa que o período (e consequentemente a freqüência) do MHS do sistema massa-mola depende da massa m do corpo e da constante elástica k da mola, mas não depende da amplitude A da oscilação e nem da aceleração da gravidade local, mesmo que o movimento seja na vertical, desde que seja a mesma mola e a mesma massa.

 Energia no MHS no plano horizontal

* A energia potencial é a elástica  ---  Ep = k.x2/2

Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x=o e é máxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 é máximo e vale Ep=kA2/2

 

* A energia cinética vale Ec=m.v2/2

Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde v=0.

 

* A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2

* Se a massa estiver oscilando na vertical

 

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural. Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos  ---  Fe = P  ---  k.x = m.g  ---  x=m.g/k e x=A. Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A,desde que a massa m seja a mesma.

 

Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A,  em torno de 0.

 

Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

No ponto 0 a velocidade de m é máxima, pois ela acelera até 0 e retarda a partir de 0. Portanto, em 0. a aceleração é nula.

 

 

Exercícios