Equação da continuidade - Equação de Bernoulli

 

 Hidrodinâmica – estuda o comportamento de fluidos (líquidos e gases) em movimento. Esse movimento pode ocorrer de modo de modo que a velocidade do fluido varie, como nas corredeiras ou cachoeiras, ou permaneça constante, ou seja, em cada ponto cada partícula do fluido tem a mesma velocidade (regime estacionário ou permanente).

          

      

 Em termos de nível médio considera-se o fluido ideal (incompressível, ou seja, em todos os pontos tem sempre a mesma densidade) e não viscoso (atrito interno nulo).

* Vazão – Considere um fluido ideal, escoando em regime estacionário (a velocidade do fluido em cada ponto é sempre a mesma), no interior de um tubo.

 Seja S a área de seção transversal do tubo (constante) e ΔV o volume de fluido que atravessa S num intervalo de tempo Δt.

Por definição, a vazão (Z) do fluido através da seção S do tubo é fornecida por:

*

No SI, a unidade de vazão (Z) é o m3/s e significa que, em regime permanente através de uma superfície determinada (S), escoa o volume (ΔV) de 1 metro cúbico do fluído em um intervalo de tempo (Δt) de 1 segundo.(1m3/s=103L/s).

* Observe na figura abaixo que o volume dentro do tubo entre os instantes t0 e t vale ΔV=S.ΔS, onde ΔS é o

deslocamento do fluido entre to e t (Δt).  Chamando de v a velocidade do fluido, constante, tem-se:

Z=ΔV/Δt=S.ΔS/Δt  ---  v= ΔS/Δt  ---   Z=S.v        

Onde S é a área de seção transversal do tubo e v a velocidade de escoamento do líquido.

 

Equação da continuidade

 

Considere três pedaços de tubos com diâmetros diversos e áreas de seção transversal S1, S2 e S3 conectados, e com água escoando através deles no sentido de A para B, com velocidades de intensidades V1, V2 e V3, respectivamente..

Se o líquido for incompressível (mesma densidade em todos os pontos), no mesmo intervalo de tempo o volume de fluido ΔV que atravessa S1, é o mesmo que atravessa S2 e S3 e, consequentemente a vazão Z também será a mesma.

Z1=Z2=Z3=Z  ---  Z=S1.v1=S2.V2=S3.v3=constante

Essa equação, denominada equação da continuidade afirma que a velocidade com que o líquido escoa no interior do tubo é inversamente proporcional à área de seção transversal (S) do mesmo, ou seja, diminuindo a área, a velocidade (v) com que o líquido flui aumenta na mesma proporção. Isso acontece, por exemplo, quando você diminui a área de saída da água de uma

 mangueira, você está aumentando a velocidade de saída de água da mesma, aumentando assim, o alcance da água..

 

Equação de Bernoulli

 

Considere dois pedaços de tubos com diâmetros diversos e áreas de seção transversal S1 e  S2  conectados, e com água escoando através deles no sentido de A para B, com velocidades de intensidades V1 e V2, respectivamente.

Equação deduzida por Bernoulli:

Se os tubos estiverem na horizontal, as alturas h1 e h2 serão iguais e a equação fica  P1 + d(v1)2/2=P2 + d.(v2)2/2

* Observe na equação P + d.v2/2=constante que a pressão P é inversamente proporcional à velocidade v, ou seja, quanto menor a área, maior a velocidade e menor a pressão.

* Variação de energia - a soma de todas as energias fornecidas pela equação de Bernoulli (P + dgh +dv2/2= constante=W) energia total (E) por  unidade de volume (ΔV) e cada parcela corresponde a  ---  P- energia de pressão por unidade de volume  ---  dgh – energia de posição (potencial gravitacional) por unidade de volume  ---  dv2/2 – energia cinética por unidade de volume  ---  W=E/V  ---  ΔW=ΔE/ΔV  ---  ΔE= ΔW.ΔV  ---  a potência desenvolvida por uma bomba quando o líquido a atravessa v ale  ---  Po=ΔE/Δt= ΔW.ΔV/Δt  ---  vazão Z=ΔV/Δt  ---  Po=ΔW.Z  ---  a potência de um motor é fornecida pelo produto da vazão (Z) do líquido pela variação de energia por unidade de volume.

* Equação de Torricelli - A figura ilustra um reservatório contendo um fluido de densidade D. A uma altura h

abaixo da superfície livre existe um pequeno orifício de área s. v é a intensidade da velocidade horizontal com que o fluido escoa pelo orifício  ---  aplicando a equação de Bernoulli nos pontos P1 (superfície livre do líquido) e P2 (no orifício)  ---  P1 + d.g.H + dv12/2 = P2 + d.g.h’ + dv22/2  ---  P1=P2=pressão atmosférica  ---  v1=0 (devido à enorme diferença de área de seção transversal, a velocidade de descida de 1é praticamente nula em relação a à velocidade v do orifício)  ---  v2=v  ---  H – h’=h  ---  d.g.H = d.g.h’ + dv2/2  ---  g.H – gh’=v2/2  ---  2g(H – h’)=v2  ---  v=√2gh  ---  equação de Torricelli

 

O que você deve saber

 

 

 Equação de Torricelli

 

 Viscosidade -  é definida como a resistência que um fluido oferece ao seu próprio movimento. Quanto maior for a

 viscosidade do fluido, menor será a sua capacidade de escoar (fluir) e maior será a força de atrito entre o fluido e as paredes do recipiente onde ele está escoando, pois o fluido diretamente em contato como cada placa fica preso à superfície de contato, devido a existência de uma força coesiva entre as moléculas do líquido e da placa. Assim, na figura acima o líquido B é mais viscoso que o líquido A.  

 

Aplicações da equação de Bernoulli

 

 Se você assoprar na parte superior de uma folha de papel de seda, você está aumentando a velocidade do ar nessa

 região, diminuindo a pressão, assim, a pressão da parte inferior fica maior, elevando a folha.

 

 - Vaporizadores: A bomba de ar faz com que o ar se mova com velocidade v, paralelamente ao extremo (A) de um tubo que está imerso em um líquido, fazendo com que a pressão aí diminua em relação ao extremo inferior (ponto B) do tubo.

A diferença de pressão entre os pontos A e B empurra o fluido para cima. O ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são empurradas e se espalham para a frente.

 - Quando um fluido, por exemplo, um líquido, escoa por um encanamento, a altura da colina líquida em tubos verticais

 é menor no tubo de menor área de seção transversal, pois aí a velocidade do líquido é maior e a pressão, menor.

 - A asa de um avião é mais curva na parte de cima, o que faz com que o  ar passe mais rápido na parte de cima do que

na de baixo, fazendo com que a pressão em cima seja menor que a pressão em baixo. Essa diferença de pressão origina uma força ascensional que faz o avião subir.

- Numa tempestade onde a velocidade dos ventos é muito elevada, a passagem de ar diminui a pressão na parte superior

 dos telhados, tornando a pressão interna maior que a externa, podendo destelhar a casa.

 - Chaminé: O movimento de ar do lado superior da chaminé ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.

 - O ar que passa paralelo e rasante à parte externa de uma janela aberta, durante uma ventania, provoca uma diminuição

 da pressão externa e a pressão interna que fica maior, agindo sobre uma cortina ali colocada, desloca-a para fora.

 Se você está andando com sua bicicleta em uma rodovia, e é ultrapassado por um ônibus que passa pela sua esquerda

 em alta velocidade, você sente o ar se deslocando e se sente “puxado” para o lado esquerdo (lado do ônibus), podendo cair para esse lado. Isso ocorre porque a velocidade produzida pelo ônibus em movimento, diminui a pressão do seu lado esquerdo e a pressão maior do lado direito desloca-o para a esquerda.

 

 

 

Exercícios até 2012

Exercícios 2013