Colisões mecânicas

 

Choques mecânicos unidimensionais – são choques que ocorrem quando os centros de massa dos corpos que interagem entre si situam-se sobre uma mesma reta, ou seja, estão sempre na mesma direção, antes e depois do choque. Se as direções forem diversas o choque será oblíquo.

Coeficiente de restituição (e): É definido pela relação:

Cálculo do módulo da velocidade relativa:

 a) velocidades em sentidos contrários: Vr= VX + VY

  

b) velocidades no mesmo sentido: Vr= VY – VX, com VY>VX

 

Observações:

* O resultado Vr obtido é sempre em módulo

* Se houver colisão e os corpos permanecerem unidos após a mesma, ou, se eles se moverem na mesma direção e sentido tem-se evidentemente que VX=VY e que Vr=0.

 

Exemplos de cálculo do valor do coeficiente de restituição:

a)

 

e=Vrdepois/Vrantes=(20 + 10)/910 + 20)  ---  e=1

 

b)

 

e=Vrdepois/Vrantes=(5 – 4)/(10 – 2)  ---  e=1/8=0,15

 

c)

e=Vrdepois/Vrantes=(2 +1,2)/(8 – 4)  ---  e=0,8

 

d) após o choque movem-se juntos com a mesma velocidade

     

 

e=Vrdepois/Vrantes=(60 – 60)/(100 – 80)  ---  e=0

 

e) choque contra um obstáculo fixo como, por exemplo, uma parede ou um muro

               

Figura I  ---  e=Vrdepois/Vrantes=(30 – 0)/(30 – 0)  ---  e=1   ---   figura  II  ---  e=Vrdepois/Vrantes=(10 – 0)/(20 – 0)  ---  e=0,5

 

f) choque contra um obstáculo fixo (solo) – esfera abandonada de uma altura H, choca-se com o solo e retorna a uma altura h.

cálculo da velocidade com que ela chega ao solo (figura 1) ---  equação de Torricelli com Vo=0 (abandonada), a=g (desce

acelerando) e  ΔS=H  --- V2=Vo2 + 2.a.ΔS  ---  V2=02 + 2.g.H  ---  V=√2gH – velocidade com que ela chega ao solo, antes do choque – Va==√2gH

Cálculo da velocidade com que ela sai do solo, após o choque, atingindo uma altura h (figura 2)  ---  equação de Torricelli com v=0 (altura máxima), a=-g (sobe retardando) e ΔS=h  ---  V2=Vo2 +2.a.ΔS  ---  02 = Vo2 + 2.(-g).h  ---  Vo=√2gh (velocidade com que ela sai do solo, depois do choque  ---  Vd=√2gh

e=Vrdepois/Vrantes=(√2gh)/(√2gH  ---  e=√(h/H)  --- 

 

g) Choque de uma pequena esfera (por exemplo, bola de tênis) contra um obstáculo móvel (por exemplo, um ônibus), com:

* sentidos opostos

 

  

É claro que a velocidade do ônibus continua sendo de 60m/s  ---  e=Vrdepois/Vrantes=(100 – 60)/(60 + 40)  ---  e=0,4

* mesmo sentido

  

 

e=Vrdepois/Vrantes=(40 + 80)/(200 – 80)  ---  e=1

 

O que você deve saber

 Coeficiente de restituição (e)

O coeficiente de restituição (e) é uma grandeza adimensional (não tem unidade), por ser calculado pela razão entre duas grandezas de mesma espécie e 0<e>1

 Cálculo do módulo da velocidade relativa:

 a) velocidades em sentidos contrários: Vr= VX + VY

 b) velocidades no mesmo sentido: Vr= VY – VX, com VY>VX

Observações:

* O resultado Vr obtido é sempre em módulo

                                                                      

Choque inelástico

Neste tipo de choque a dissipação de energia é máxima, o coeficiente de restituição é nulo, e, após o choque, os corpos obrigatoriamente se juntam e se movem unidos com a mesma velocidade. Lembre-se de que em qualquer tipo de choque a quantidade de movimento sempre se conserva.

Gráfico da velocidade em função do tempo para a colisão inelástica das figuras abaixo

 

  

 

Choque parcialmente elástico

 

Nesse tipo de choque o sistema é dissipativo com a energia sendo parcialmente dissipada e o coeficiente de restituição está compreendido entre 0 e 1 (0<e<1). Como em qualquer tipo de choque a quantidade de movimento do sistema se conserva () .

Gráficos de uma colisão parcialmente elástica

  

O que você deve saber

 

O coeficiente de restituição está compreendido entre 0 e 1 (0<e<1).

A quantidade de movimento do sistema se conserva ()

 Como resolver exercícios sobre colisões parcialmente elásticas

- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda

- calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, igualá-las e simplificá-las – equação I.

- utilizar o coeficiente de restituição – e=módulo da velocidade relativa depois do choque/módulo da velocidade relativa antes do choque  ---  e=Vrdepois/Vrantes, simplificar essa equação – equação II

- resolver o sistema formado pelas equações I e II

Exercício exemplo:

Dois móveis P e Q de massas mP=2kg e mQ=10kg se movem em sentidos contrários com velocidades VP=20m/s e VQ=10m/s e sofrem uma colisão unidimensional parcialmente elástica de coeficiente de restituição igual a 0,8. Calcule suas velocidades após o choque e seus sentidos.

Etapas:

- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, que após a colisão os móveis se movam sempre para a direita.

-Calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, (supondo, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda), igualá-las e simplificá-las.

Qa=Qd  ---  mPVP + mQVQ=mPVP’ + mQVQ’  ---  2.(20) + 10.(-10) = 2.VP’ + 10.VQ’  ---  -60=2.VP’ + 10.VQ’   ---  Vp’ + 5VQ’= -30  (equação I) 

-Utilizando o coeficiente de restituição e=0,8  ---  e=Vrdepois/Vrantes  ---  0,8=(VQ – VP’)/30  --- VQ – VP’=24 (equação II)  

Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II  ---  VQ’= -1m/s (após o choque, o móvel Q se move para a esquerda com velocidade de 1m/s)  ---  VP= -25m/s (o móvel P, após o choque, se move também para a esquerda com velocidade de 25m/s)

 

Choque perfeitamente elástico

 

Toda energia do sistema é a mesma antes e depois do choque (sistema conservativo) e o coeficiente de restituição vale e=1. Como em todo tipo de choque, a quantidade de movimento do sistema se conserva ().

O que você deve saber

 O sistema é conservativo (toda energia mecânica se conserva)

 e=1

 

  Como resolver exercícios sobre colisões parcialmente elásticas

- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda

- calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, igualá-las e simplificá-las – equação I.

- utilizar o coeficiente de restituição – e=módulo da velocidade relativa depois do choque/módulo da velocidade relativa antes do choque  ---  e=Vrdepois/Vrantes, simplificar essa equação – equação II

- resolver o sistema formado pelas equações I e II

Exercício exemplo:

Dois carrinhos de brinquedo M e N que se movem em sentidos contrários sofrem uma colisão perfeitamente elástica. Suas velocidades antes do choque são VM=12m/s e VN=8m/s. Sua massas são iguais (2kg). Determine a intensidade e o sentido de suas velocidades após o choque.

 

Esquematizando a situação e supondo que após o choque, eles se movam para a direita

     

 

Aplicando o teorema da conservação da quantidade de movimento, supondo velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda  ---  Qa=Q---  mN.VN + mM.VM = mN.VN’ + mM.VM’  ---  2.(-8) + 2.(12) = 2.VN’ + 2.VM’  ---  -16 +24 = 2.VN’ + 2.VM’  ---  VN’ + VM’=4 I   ---  aplicando a expressão do coeficiente de restituição – e=Vrdepois/Vrantes  ---  1 = (VN’ – VM’)/(12 + 8)  ---  VN – VM’=20 II  ---  resolvendo o sistema composto por I e II  ---  VN’=12m/s (para a direita) e VM’= -8m/s (para a esquerda).

Observe que, após o choque, M transferiu a N sua velocidade de 12m/s para a direita e que N transferiu a M sua velocidade de 8m/s para a esquerda. Assim, pode-se concluir que:

 Em todo choque perfeitamente elástico, se os corpos tiverem a mesma massa, eles trocam suas velocidades

Exemplos:

 Gráficos de um choque perfeitamente elástico

 

 

 

 

Exercícios