Forças no movimento circular em trajetórias curvas

 

Considere um móvel de massa m descrevendo um movimento circular uniforme (MCU, onde a velocidade escalar V e a angular W é constante) numa trajetória plana, de raio R. Conforme a cinemática vetorial, devido ao fato de o vetor velocidade ser sempre tangente à trajetória em cada ponto, ele variará continuamente e fará surgir sobre o móvel uma aceleração centrípeta

() com as seguintes características:

 

Sendo: ac – intensidade da aceleração centrípeta  ---  V – velocidade escalar   ---  W – velocidade angular  ---  R – raio da circunferência

A força responsável pelo fato de surgir a aceleração centrípeta () é denominada força centrípeta ou força resultante centrípeta

() e que, de acordo com a segunda lei de Newton, possui as seguintes características:

Unidades no SI: Fc (N)  ---  ac (m/s2)  ---  R (m)   ---  V (m/s).

É essa força resultante centrípeta () que obriga o móvel a estar sempre mudando a direção do vetor velocidade obrigando-o a efetuar a curva.

     

       

Assim, é a força resultante centrípeta que obriga um corpo preso na extremidade de um fio a efetuar movimento circular, um carro a efetuar uma curva, um satélite a girar ao redor de um planeta. Enfim, sobre todo corpo que estiver efetuando uma trajetória curva surge uma força (resultante) centrípeta.

Observação: Se o movimento circular for uniforme, a força centrípeta  e a aceleração centrípeta  tem a mesma direção

(radial) e o mesmo sentido (para o centro da circunferência) e ambas são sempre perpendiculares ao vetor velocidade , que é sempre tangente à trajetória em cada ponto e tem o sentido do movimento (veja figura acima).

 

O que você deve saberO que você deve saber

Em todo o movimento circular, surge sempre uma força centrípeta  e uma aceleração centrípeta  e ambos tem a mesma direção

(radial) e o mesmo sentido (para o centro da circunferência).  Se o movimento for uniforme, ambas são sempre perpendiculares ao vetor velocidade , que é sempre tangente à trajetória em cada ponto e tem o sentido do movimento (veja figura acima).

() tem as seguintes características:

 

Sendo: ac – intensidade da aceleração centrípeta  ---  V – velocidade escalar   ---  W – velocidade angular  ---  R – raio da circunferência

A força responsável pelo fato de surgir a aceleração centrípeta () é denominada força centrípeta ou força resultante centrípeta

() e que, de acordo com a segunda lei de Newton, possui as seguintes características:

Unidades no SI: Fc (N)  ---  ac (m/s2)  ---  R (m)   ---  V (m/s).

É essa força resultante centrípeta () que obriga o móvel a estar sempre mudando a direção do vetor velocidade obrigando-o a efetuar a curva.

  

Casos particularesCasos particulares

 

 Carrinho de massa m em movimento circular sobre um plano horizontal sem atrito, girando em torno de um ponto central, preso a um fio de comprimento L.

Como não existe movimento na vertical,  e  se anulam e a força resultante é horizontal onde a força de tração  no fio é a própria força resultante centrípeta , ou seja, .

T=Fc=m.V2/L ou T=Fc=m.ac

Em função da velocidade angular W=V/R  ---  V=W.R  ---    T=FC=m.W2.L

 

 * Carro de massa m sobre um plano horizontal descrevendo uma curva de raio R, com atrito de escorregamento lateral.

Nesse caso, a força horizontal que evita que ele derrape (saia pela tangente) é a força de atrito  que é a própria resultante centrípeta , ou seja, .

Fc=Fat=m.V2/R

A força de atrito estático será máxima quando o carro estiver na iminência  de escorregar para fora da pista e nesse caso Fatemáximo=meN=meP=memg  ---  Fc=Fatmáx  ---  mV2/R=memg  ---  , que é a máxima velocidade com que ele consegue fazer a curva sem derrapar.

O mesmo ocorre com uma moto efetuando uma curva de raio R, com velocidade  escalar V.

Observe na expressão V=Ö(mRg) que a velocidade com que ele faz a curva depende do raio da mesma, que ele consegue aumentar ou diminuir variando a inclinação da moto.

 

*Planador descrevendo uma curva horizontal em trajetória circular com velocidade escalar constante.

a

a é o ângulo de inclinação das asas em relação ao plano horizontal  ---   é a força de sustentação aplicada pelo ar e que é perpendicular às asas  ---   é o peso.

tga=cateto oposto/cateto adjacente  ---  tga=Fc/P  ---  tga=(m.V2/R)/mg 

Observe na expressão acima que a velocidade do planador depende do raio da trajetória e do ângulo de inclinação das asas em relação à horizontal. Somente obedecendo à essa equação é que o planador efetuará uma curva horizontal, caso contrário efetuará uma curva para baixo ou para cima dependendo do valor da velocidade.

 

* Pêndulo cônico – composto por um corpo de massa m preso a um fio ideal (inextensível e de massa desprezível) que gira num plano horizontal, com velocidade4s escalar (V) e angular (W), constantes. O comprimento do fio é L e o ângulo que ele forma com a vertical é j.

Sobre o corpo de massa m em movimento circular horizontal de raio R agem duas forças que são o peso  e a força de tração no fio . A soma vetorial dessas duas forças nos fornece a força resultante centrípeta  que tem direção radial e sentido para o centro da circunferência (c), cujo raio é R.

Da figura da direita - tgj=Fc/P  ---  tgj=(mV2/R)/mg  ---  tgj=V2/Rg   ---  R=Lsenj  ---  tgj=V2/L.senj.g  --- em função da velocidade angular W=V/R  ---  V=W.R  ---  senj/cosj=W2.R2/R.g  ---  senj/cosj=W2.R/.g  ---  senj/cosj=W2.Lsenj/.g  --- 

  ---  em função do período T temos V=2pR/T ou W=2p/T.

 

* Rotor – é constituído por um cilindro oco de raio R, girando em torno de um eixo central com velocidade escalar V ou angular W, muito comum em parques de diversões..

Uma pessoa entra no cilindro e fica em pé encostada na parede interna e apoiada no assoalho inferior. Então, o cilindro começa a girar com velocidade angular constante W em torno de seu eixo vertical e quando essa velocidade atinge um determinado valor mínimo o assoalho é retirado e a pessoa não escorrega verticalmente, ficando “colada” à parede do cilindro.

As forças que agem sobre a pessoa são seu peso  e a força de atrito estático  que ela troca com a parede do cilindro, ambas verticais e que se equilibram, pois a pessoa permanece parada.

FC=mV2/R=mW2R   ---  a mínima velocidade angular ocorre quando a pessoa está na iminência de escorregar e, nesse caso a força de atrito é máxima e vale Fat=me.N=me.FC  ---  Fat=me.m(Wmin)2.R  ---  Fat=P  ---  me.m(Wmin)2.R =mg  ---  Wmin=Ö(g/me.R)

 (mínima velocidade angular do cilindro para que a pessoa não escorregue)

Lembre-se  de que a relação entre a velocidade angular W e a escalar V é W=V/R

 

*Carro de massa m passando por uma lombada ou uma depressão de raio R com velocidade V.

Lombada

Como ele está em movimento circular existe uma força resultante centrípeta que é sempre dirigida para o centro da circunferência que é para baixo, ou seja, FC=mV2/R  ou  FC=mW2.R  ---  P – N=mV2/R  ou P – N=mW2R. Observe que a força de compressão que o carro troca com o chão é menor que seu peso e que o mesmo acontece com  a força  que o motorista troca com o banco do carro e assim ele se sente mais “leve”.

Observação- A máxima velocidade com que o carro consegue realizar a curva sem perder contato com o solo ocorre quando a força de compressão  entre os pneus do carro e o solo é nula, ou seja, N=0  ---  FC=P-N  ---  mV2/R=mg – 0  ---  V2/R=g  --- 

V=ÖR.g

 

Depressão

 

Como ele está em movimento circular existe uma força resultante centrípeta que é sempre dirigida para o centro da circunferência que é para cima, ou seja, FC=mV2/R  ou  FC=mW2.R  ---  N – P=mV2/R  ou N – P=mW2R. Observe que a força de compressão que o carro troca com o chão é maior que seu peso e que o mesmo acontece com  a força  que o motorista troca com o banco do carro e assim ele se sente mais “pesado”.

 

* Globo da morte

Considere um motociclista de massa total m (massa dele + massa da moto) descrevendo voltas segundo um plano vertical, com velocidade escalar constante no interior de uma esfera metálica oca de raio R “globo da morte”.

Tanto no ponto mais alto (A) como no ponto mais baixo (B) as forças que agem sobre o sistema (moto + motociclista) são, seu peso  constante, vertical e para baixo e a força de compressão  que os pneus da moto trocam com a superfície interna do globo para baixo em (A) e para cima em (B).

Em (A), ponto mais alto, a força resultante centrípeta  , que é dirigida sempre para o centro da circunferência, no caso, para baixo, é a soma vetorial de  com , de intensidade  ---  FC=P + N  ---  m.V2/R=m.g + N  ---  N=m(g + V2/R). É o mesmo resultado obtido quando um veículo passa por uma lombada ou quando um piloto de avião se encontra na parte mais alta de um looping vertical.

Na expressão acima verificamos que, como m, g e R são constantes, N é diretamente proporcional a V2. Assim, à medida que a velocidade (V) diminui a força de compressão N também diminuirá e a velocidade mínima para que o sistema não caia ocorrerá quando a compressão no ponto A for nula, ou seja, quando N=0  ---  FC=P + N  ---  FC=P + 0  ---  FC=P  ---  m.V2/R=m.g  --- 

  ---  velocidade mínima do sistema (moto + motociclista) no ponto mais alto para fazer a curva e não perder contato com a superfície interna do globo, ou seja, não cair.Esta expressão é válida também  para calcular a velocidade mínima quando um avião ou um carrinho de montanha russa faz um loop numa curva vertical e não cai, como não caem também o piloto do avião ou os passageiros do carrinho.

                                

Vale também quando giramos num plano vertical um balde com água e os mesmos não caem.

Em (B), ponto mais baixo, a força resultante centrípeta  , que é dirigida sempre para o centro da circunferência, no caso, para

cima, é a diferença vetorial entre  e  , de intensidade  ---  FC=N – P  ---   m.V2/R= N – m.g  ---  N=m.g + mV2/R

É o mesmo resultado obtido quando um veículo passa por uma depressão, ou quando um piloto de avião passa pela parte mais baixa de um looping vertical.

Quando o sistema (moto + motociclista) estiver na lateral, num plano horizontal com velocidade escalar constante V, teremos:

Como o módulo de  é constante, Fat=P e a força resultante centrípeta  é igual à força de compressão   ---  FC=N=mV2/R

 

*Pêndulo simples – consiste em um corpo de massa m, preso à extremidade de um fio de comprimento L oscilando num plano vertical onde os pontos A e C  representam os pontos extremos da oscilação onde o corpo pára para retornar, invertendo o sentido de seu movimento.

Em todos os pontos da trajetória agem sobre a massa m duas forças, a tração no fio  e o peso . No ponto B, onde a velocidade é máxima de valor V, a força resultante centrípeta que é dirigida sempre para o centro da circunferência (no caso, para cima) tem intensidade FC=m.V2/R  ---  T – P=m.V2/R  ---  T=m.g + m.V2/R  ---  T=m(g + V2/R)

 

*Carro em pista sobrelevada de ângulo q com a horizontal, sem atrito em pista circular de raio R, contida num plano horizontal.

As duas forças que agem sobre o carro, independente do atrito são seu peso  e a reação do solo . Para que o carro complete a curva a força resultante centrípeta   deve ser a soma vetorial de  com  e deve ser radial e dirigida para o centro C  da pista circular de raio R (veja figura abaixo).

No triângulo hachurado  ---  tgq=cateto oposto/cateto adjacente  ---  tgq=FC/P  ---  tgq=(mV2/R)/mg  ---  V2=R.g.tgq

velocidade que o carro deve ter para efetuar a curva sem atrito.

 

* Gravidade artificial - Na Terra estamos acostumados com a “sensação se peso” e que quando estamos apoiados ela ocorre devido à força de reação normal  do apoio sobre nosso corpo.

Estando em equilíbrio e  possuem a mesma intensidade, ou seja, N=P  ---  N=m.g. Como a massa m é sempre constante, se variarmos a “gravidade” g, estaremos variando essa “sensação de peso”.

 Isso pode ser feito fazendo a nave espacial, que deve ter a forma de um cilindro oco, efetuar movimento contínuo de rotação com velocidade angular W.

                                                                                      Corte frontal do sistema

    

Essa simulação da “gravidade” ocorre, pois todo corpo em movimento circular tende a se afastar do centro e, no caso, “colando” nas paredes internas do primeiro e do segundo andar (vide figura acima).

O “peso” do astronauta é percebido pela reação normal  das paredes da nave sobre ele, que é a própria força resultante centrípeta de intensidade N=mV2/R ou N=m.W2.R.

Observe na expressão N=m.W2.R que se a nave girar com W constante (que é a mesma para todos os andares) e como a massa do astronauta é a mesma, a “gravidade” N é diretamente proporcional ao raio R. Assim, a medida que o astronauta se aproxima do centro C de rotação do sistema a “gravidade” vai diminuindo até se anular no centro C, onde o astronauta tem sensação de ausência de peso (imponderabilidade). 

 

 

Exercícios